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世界上那些最美的方程

目录

【译者按】:对于什么是最美的数学方程,在 Quora 上,目前榜首为复分析领域的欧拉方程(后文提到的欧拉方程是在几何学与代数拓扑学领域的形式),有 3300 多个投票:

\begin{equation*} \mathbf{e}^{i\pi} + 1 = 0 \end{equation*}

其次是麦克斯韦方程:

\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{align*}

简介

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数学方程不仅实用——很多还非常优美。许多科学家承认,他们经常喜欢特定的公式,不仅仅是因为它们的功能强大,还因为它们的形式优雅、简洁及其中所蕴涵的诗一般的真理。

当某些特别著名的方程,比如爱因斯坦的质能方程 \(E = m c^2\), 在公众面前享誉极盛时,许多公众不那么熟悉的方程在科学家那儿却拥者甚众。 LiveScience 咨询了许多物理学家、天文学家和数学家,将他们喜爱的数学公式罗列如后:

广义相对论

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\begin{equation} \label{eq:grel} G_{\mu\nu} = 8 \pi G \left( T_{\mu\nu} + \rho_{\Lambda}g_{\mu\nu} \right) \end{equation}

上述公式是 爱因斯坦 于 1915 年所发现的划时代的 广义相对论 方程中的一部分。该理论让科学家对引力的认识发生了革命性的变化,引力在这儿是空间与时间结构的一种弯曲。

“让我惊奇的时,这样的一个方程就揭示了全部的时空真相。”太空望远镜科学研究所的天体物理学家 Mario Livio 如是说,他声明此方程为自己的最爱。“爱因斯坦所有的真正的天才之处都蕴含在这个方程中。”〖英文扩展阅读:爱因斯坦测验:考考你的天才知识

“方程的右侧描述了我们宇宙的能量构成 (包括促使我们宇宙加速膨涨的 暗能量),” Livio 解释道,“左侧是时空的几何结构。此方程揭示了这样的事实,在爱因斯坦广义相对论中,质量和能量决定了几何,以及伴随的时空弯曲,它显示为我们所说的引力。”〖英文扩展阅读:引力的六个不可思议的现实

“这是个非常优雅的方程。”纽约大学物理学家 Kyle Cranmer 解释说,此方程还揭示了时空、物质和能量之间的关系。“此方程告诉了你它们之间是如何关联的——比如,太阳的存在如何导致了时空弯曲,从而令地球沿着其轨道运转,等等。它还告诉你宇宙自从 大爆炸 之后是如何演化的,它还预言了黑洞的存在。”

标准模型

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\begin{align} \label{eq:sm} \mathcal{L}_{\text{SM}} &=& \underbrace{ \frac{1}{4} W_{\mu\nu} \cdot W^{\mu\nu} - \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} - \frac{1}{4} G^{a}_{\mu\nu} G^{\mu\nu}_{a} }_{\text{规范玻色子的动能和自相互作用}} \\ &+& \underbrace{ L\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} - \frac{1}{2}g\tau\cdot W_{\mu} - \frac{1}{2} g' Y B_{\mu} \right) L + R\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} - \frac{1}{2} g' Y B_{\mu} \right) R }_{\text{费米子动能和弱相互作用}} \\ &+& \underbrace{ \frac{1}{2} \left| \left( i\partial_{\mu} - \frac{1}{2} g \tau \cdot W_{\mu} - \frac{1}{2} g' Y B_{\mu} \right) \phi \right|^2 - V(\phi)}_{\text{$W^{\pm}$, $Z$, $\gamma$, 希格斯子质量和耦合过程}} \\ &+& \underbrace{ g'' \left( \overline{q} \gamma^{\mu} T_a q \right) G^{a}_{\mu} }_{\text{夸克和胶子之间的相互作用}} + \underbrace{ \left(G_1 \overline{L} \phi R + G_2 \overline{L} \phi_c R + h.c. \right) }_{\text{费米子获得质量及与希格斯子的耦合}} \end{align}

另一个物理学理论中的君王,标准模型,它描述了构成我们目前宇宙的所有可见的基本粒子。

这个理论可浓缩为一个主方程,即标准模型的拉格朗日量(该名字来自于以十八世纪法国数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日),加利福尼亚 SLAC 国家加速器实验室的 Lance Dixon 在他的著名公式中采用了这个量。

“它成功地描述了岂今在实验室中能够观测到的所有的基本粒子和力——除了引力”, Dixon 向 LiveScience 解释道。“这当然包括了最新发现的希格斯(疑似)玻色子,即公式中的 \(\phi\). 它与量子力学和狭义相对论完全自治。”

标准模型理论还没有与广义相对论统一起来,所以它还不能够描述引力。〖英文扩展阅读: 图释标准模型

微积分

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\begin{equation} \label{eq:calculus} \int^a_b f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \end{equation}

前两个方程描述了我们宇宙的特定方面,另一个最爱的方程则可用于几乎所有场合。微积分基础理论是微积分学数学方法的基石,它将两个主要思想连接了起来,即积分与求导的概念。

“简单来讲,它表明,平滑连续的量的净改变,比如经过一段时间区间后的旅行距离(也就是说,时间区间端点的量的差值),等于该量的变化率的积分,亦即,速度的积分,” FordHam 大学数学系主任 Melkana Brakalova-Trevithick 如是说,她将此方程选为最爱。“微积分的基础理论 (FTC) 允许我们基于整个区间的速率变化来测定一个区间的净变化。”

微积分的萌芽从古代就开始了,但其完善集中在十七世纪并归功于 艾萨克·牛顿,他使用微积分解释了行星环绕太阳的运动。

毕达哥拉斯定理

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\begin{equation} \label{eq:pyth} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation}

一个经久不衰的方程,就是著名的毕达哥拉斯定理,每个几何初学者都要学习它。

这个方程说明,对任意直角三角形,它的弦的平方(面对直角的最长的边)等于其余两边长的平方和。

“第一个令我惊奇的数学事实就是毕达哥拉斯定理。”康奈尔大学的数学家 Daina Taimina 如是说,“当我还是孩子时,它就令我惊奇不已,它不仅在几何中有用,在数论中也一样!”〖英文扩展阅读:五个令人惊奇的数学事实

欧拉公式

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\begin{equation} \label{eq:euler} V - E + F = 2 \end{equation}

这个简单的公式蕴含着球体的纯粹本质:

“它表明,如果把一个球切割成面、棱和顶点,令 \(F\) 表示面数, \(E\) 表示棱数, \(V\) 表示顶点数,你始终能得到 \(V - E + F = 2\),”马萨诸塞州 Williams 学院的一名数学家 Colin Adams 解释说。

“因此,比如以四面体为例,它有 4 个三角形,6 根棱和 4 个顶点,”Adams 继续解释,“如果你使劲吹一个表面柔软的四面体,它会胀成一个球,故这样看来,一个球可以切割成四个面、六根棱和四个顶点。我们就有了 \(V - E + F = 2\). 对于金字塔方锥也一样,它有五个面——四个三角形和一个正方形,八根棱和五个顶点。”对于任意其它的面、棱和顶点组合也一样。

“非常酷的事实!顶点、棱和面的组合提示了球体的一些非常基本的东西。”Adams 如是说。

狭义相对论

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\begin{equation*} t' = t \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}

爱因斯坦又一次进入列表,这次是他的 狭义相对论 方程,它表明时间和空间不是绝对的概念,而是受观察者速度影响的相对概念。上面的方程表明,一个人在任意方向运动得越快,时间会愈加膨涨,或变得更慢。

“关键是它非常简洁。”欧洲核子中心位于日内瓦实验室的一名粒子物理学家 Bill Murray 说,“任何一名 A-级学生都会做,没有复杂的求导和线性代数。但它包含的是一种全新的观察世界的方式,一种对待现实和我们与它之间关系的全新态度。突然间,那个刚性的不变的宇宙被扫除干净了,取而代之的是一个人性的世界,它同你的观察相关。你从在宇宙之外的审视者变成了其中的一部分。但这个概念和数学可以被任何想学的人掌握。”

Murray 说,比起爱因斯坦后续理论中的复杂方程,他更偏爱狭义相对论方程。“我绝不会欣赏广义相对论中的数学。”他补充道。

1 = 0.999999999…

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\begin{equation*} 1 = 0.9999999999999\dots \end{equation*}

很简单的方程,它的意思是说, 0.999 紧跟着无限个小数位的 9, 其结果与 1 等价。这是康奈尔大学数学家 Steven Strogatz 的最爱。

“我爱的是它的简单——任何人都能够理解其意思——是的,多么刺激啊!”Strogatz 说。“许多人不相信这是真的。它也是优美的平衡。左侧代表数学的开始,而右侧则代表神秘的无限。”

欧拉-拉格朗日方程及诺特定理

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\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial L}{\partial q} \end{equation*}

“这非常抽象,但令人惊奇的强大。”NYU 的 Cranmer 说,“很酷的是,用这种方式来思考物理导致了物理学的许多主要革命,比如量子力学、相对论,等等。”

这儿, \(L\) 表示拉格朗日量,它代表一个物理系统的能量量度,比如弹簧、杠杆或基本粒子。“求解这个方程会让你明白系统会如何随时间演化。” Cranmer 解释说。

拉格朗日方程的一个副产品就是诺特定理,以二十世纪德国数学家 Emmy Noether 命名。“该定理对于物理学和对称论来说非常基础。”Cranmer 补充说,“简单地讲,该理论说,如果你的系统有一个 对称性,则必伴随一个守恒量。比如,今天的物理基本定律与明天是一样(时间对称性),这个思想则意味着能量是守恒的。物理定律在这儿的与在外太空是相同的,则意味着动量守恒。对称性在基础物理中是起推进作用的概念,这主要得益于〖诺特的〗贡献。”

Callan-Symanzik 方程1

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\begin{equation*} \left[ M \frac{\partial}{\partial M} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + n \gamma \right] G^n \left( x_1, x_2, \dots, x_n; M, g \right) = 0 \end{equation*}

“从 1970 年起, Callan-Symanzik 方程就是个非常重要的第一原则性的方程,尤其是用于描述朴素的观察者在 量子世界 中会如何失败。”Rutgers 大学的理论物理学家 Matt Strassler 说。

此方程有很多应用,其中包括物理学家用它来预测质子和中子的质量与尺寸,质子和中子是构成原子核的基本粒子。

基础物理告诉我们,两个物体之间的引力和电磁力与它们之间的距离成平方反比关系。简单来讲,这也适用于强核子力,该力把质子和中子捆绑起来构成了原子核,也是它将夸克捆绑起来构成了质子和中子。但是,微小的量子涨落会影响力与距离的依赖关系,这对强核力带来的影响是巨大的。

“这阻碍了此力在长距离处的衰减,结果导致对夸克的囚禁,迫使它们形成了质子和中子,从而构造了我们的世界。”Strassler 解释说。“Callan-Symanzik 方程的作用与这个巨大的难以计算的效应相关联,它〖当距离〗在大概质子尺寸上时很重要,〖当距离〗比质子尺寸小很多时它更敏感但更容易计算其效应。”

极小曲面方程

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\($ \mathcal{A}(u) = \int_{\Omega} \left( 1 + \left| \nabla_u \right|^2 \right)^{1/2} dx_1 \dots dx_n $\)

“极小曲面方程以某种方式形成了 美丽的肥皂薄膜,这个你可以用肥皂水滴到金属框中来制造。”Williams 学院的数学家 Frank Morgan 说,“此方程是非线性的,涉及到导数的幂和乘积,其中暗含的数学表现在肥皂薄膜的奇怪行为上。可以拿它与更多的大家熟悉的线性偏微分方程相比较,比如热传导方程,波动方程,以及量子力学中的薛定谔方程。”

欧拉线

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纽约数学博物馆的奠基人 Glen Whiteney 选择了另一个几何定理,它与欧拉线有关,它以十八世纪瑞士数学家和物理学莱昂哈德·欧拉来命名。

“选择任一个三角形,”Whitney 解释说,“画一个包含此三角形的最小的圆,并找到其圆心。找到三角形的重心——如果把三角形从纸上切下来,针顶着重心可令它保持平衡。画出三角形的三条垂线(每个角垂直于对边的线),找到它们交汇的点。该定理是说,你刚才找到的同一个三角形的这三个点始终位于一条直线上,这条线就叫三角形的欧拉线。”

Whitney 说,这条定理蕴含了数学的美与强大,数学经常会用简洁、熟悉的形状提示出令人惊讶的模式。

备注

【文章来源】:

脚注:

1

Callan-Symanzik Equation, 中文有的译作“卡兰-吸齐克方程”,但并不统一,故仍使用其英文名称。

版权所有 ©2015: Clara Moskowitz, 译:心蛛 | Date: [2013-09-10 二] | Generated by Emacs 24.4.1 (Org mode 8.3.2), Validate, 88x31.png

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