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哲学语言的终极形式是数学

美国宇航局的工程师为何有信心让好奇号成功登陆?旅行者号所发回的暗淡蓝点为什么是可信的?汽车、飞机、高速列车、导弹、气象预报、神经网络、机器学习、数据挖掘、行为分析、人工智能、等等等等,这些名词的背后都潜伏着一个幽灵——数学!

你知道吗,大部分理工类学生在大学所学习的那些数学都没有包括近 200 年来的数学进展。更别提文科生了,他们大学时压根不学数学。什么是数学?只是加减乘除的数值运算,再加上一点几何与三角吗?河图洛书、鸡兔同笼所代表的数学相当于现代义务教育中几年级的水平?米利都学派的阿那克西曼德所主张的“无限”与十七世纪开始形成的微积分理论存在什么联系?你用来查看这篇文章的数字设备,其背后用到了哪些数学?被处死的毕达哥拉斯学派弟子希伯斯,他的发现与现代的实分析有什么联系?当机器的运算速度越来越快,能力越来越强,能处理的事情越来越多时,你还需要学习数学吗?又需要学习些什么及怎样学习?最后,一个根本的问题:你为什么要学习数学?

为什么要学习数学?回答这个问题就需要先了解什么是数学。

人需要适应环境才能生存,人与环境互动需要认识周围的世界。当人满足温饱与安全需要,拥有一定的空闲时,就可以静下来进一步观察、思考与分析环境。人类按照模式来识别世界,比如人、动物、植物、地貌等等都有特定的模式。然后又发现模式之间存在种种关联,根据这些发现可以对事物快速形成判断或决策,改变自己的生存状态,以便活得更好。人们把对世界的高深认识称之为智慧,而“爱智慧”(philosophy)也就是爱思考,人们把这些叫做哲学、道、觉、智等等。从农业定居开始,有空闲思考的人越来越多,人类发明了书写的文字,形成了复杂的社会结构。在交易与丈量的过程中,人类发现了数字。

不管在古希腊米利都学派的作品中,还是在中国古代经典子部“算经十书”的九章、周髀等当中,都积累了古代生活中所遇到的种种与数相关的问题,是当时社会条件下人类智慧的结晶。但有所不同,古希腊的哲学家们把数字当成哲学,甚至宗教般地崇拜数字(如毕达哥拉斯学派),而中国古代的人并不认为数字值得关注,认为算术只不过是小术,是奇技淫巧,不是什么大道。然而,如果说古代的哲学中有什么是真正高深的智慧,那就是散落在各种学派学说中的数学、逻辑与实证。

数学的发展可以划分为这样的几个阶段:计数、数字与算术;符号化与逻辑推理;代数与微积分的经典数学;现代的新数学。

计数与计算可能开始于一万年前,当时引入了钱(用谷物和牛为物物交换的单位)。是的,都是钱惹的祸!然后埃及与巴比伦人加入了几何与三角。公元前 500 年,米利都学派的泰勒斯认为,数学的精确论断可以用形式参数来证明,这个思想标志着定理的诞生。几何原本是古代数学之大成标志。为提高商业交易的效率,阿拉伯商人于公元 8 至 9 世纪发展了代数,英文 algebra 就源自阿拉伯文 al-jabr, 即表示“重组”。至十七世纪微积分的诞生,经典数学完成了其雄伟的大厦。实际上,现代大学里所学的数学课程,基本上都是经典数学。

150 年前的人们,包括数学家在内,他们都认为数学就是研究计算的,尽管当时已经有数学家开始研究数字之外的对象。在 19 世纪,数学家们处理的问题越来越复杂,他们发现,对数学的那些早期直觉已经无法引导自己的工作了,反直觉的甚至是经常矛盾的结果令他们意识到,他们所开发的一些用于解决现实世界问题的方法产生了一些他们无法解释的结果。比如巴拿赫-塔斯基分球悖论:原则上,你可以把一个球面用一种方式切割,然后重组成两个完全一样的球面,它们与原来的球面尺寸相同。显然,数学已经深入到这样的一个领域,即只有通过数学本身来理解它了。从 19 世纪中叶开始,数学家们研究的对象已经不再是计算或其结果,而是用公式来表达抽象概念并理解它们,换句话说,数学家们的研究对象进一步扩大了。在大学里,除了微积分外,部分理工科学生还接触了线性代数、泛函分析等等课程,这里面就包含了一些 19 世纪的数学成果。

数学的新定义出现在 20 世纪 80 年代。数学被认为是模式的科学(Science of patterns)。根据这个定义,数学家识别并分析抽象的模式,包括数字、形状、运动模式、行为模式、偶然事件的重复模式,等等;这些模式可以是真实的或想象的,可见的或内心的,静态的或动态的,定性的或定量的,有用的或娱乐的,等等;它们源自周围的世界、或科学的进展、或大脑的活动,等等。不同的模式对应着数学的不同分支,比如:算术和数论研究数字和计数的模式;几何研究形状的模式;微积分研究运动的模式;逻辑研究推理的模式;概率论处理几率的模式;拓扑研究相似性和位置的模式;分形几何研究自然界中自相似的模式;……

为什么要学习数学?对于日常生活,你学习一些古人都会的算术、计数基本就可以应付了。但稍微复杂一点的分析,比如涉及到概率,就未必能够应对了。你日常生活中的理财、风险评估、决策都要用到一点数学,更别提你要从事设计、研究等行业了。几乎所有严肃一点的学科都要用到数学,比如语言学、行为学、经济学等等。学习一点数学,这实际上已经成为在现代社会生存所必须。

人类文明发展到今天,如果你想进一步认识这个世界,进一步享受人类文明的思想成果,你必须懂一些数学,更重要的是,你要懂得:数学是一种思维方式!那么,什么是数学思维?

拥有数学思维,首先不是学会使用符号,而是学会精确表达,学会让你的话没有歧义。比如,“坐月子的产妇每年都在死去”与“每年都有坐月子的产妇死去”,这两句话一样吗?留意一下媒体的新闻标题,你会发现有歧义的话随处可见。随便与某个人交谈五分钟,留意所说的每句话,你会发现,一旦仔细分析,有歧义的话很多。歧义指的是一句话可以有多种理解。为什么我们日常感觉不到太多的歧义呢?我们的日常交谈、媒体、文章,往往都有特定的背景或环境,这叫语境。在特定的语境下,一句话即便有歧义,会首先被理解成符合当时语境的含义,我们往往会自动忽略掉其它的含义。另一方面,我们在听话或阅读时,会首先按自己预想的方式来理解谈话或文字,而说者或作者所表达的未必如你所想,但因为歧义符合了你的想法,其它含义就往往被自动忽略了。在特定语境下,表达有时会十分简洁,甚至一个词就足够了。而数学表述则要求其语境具有普适性,即要尽可能囊括所有情形,因此,数学的表达必须精确,否则,含义甚至会截然不同。

总结下来,数学的每一种关键论断(公理、猜想、假设、定理)都是如下四种形式或者是其否定形式之一:

  1. 对象 a 有性质 P;
  2. 类型 T 的每个对象都有性质 P;
  3. 类型 T 的某个对象拥有性质 P;
  4. 如果有论断 A,则有论断 B。

所有其它的表达都是这四种的变化形式。

为了表达的简洁,数学中引入了符号。这要感谢亚历山大时期的丢番图,是他首先用符号来表示方程中的未知项。当然,现代的数学符号体系是 16 世纪由由法国数学家韦达所引入。符号提高了数学的表达效率。我想,如果用符号来把算经十本重写一遍,其篇幅会大大缩减。数学的符号大致可分为数量、运算、关系、结合、性质及其它杂类,这在多数输入法或排版软件中都能找到。

前面说到,数学的现代定义是“模式的科学”。数学的表达首先是把模式进行精确化与符号化,数学的论断就是在陈述模式的性质或者模式之间的关系,最基本的关系就是数理逻辑初步所涉及到的“和”(∧)、“或”(∨)、“非”(¬)、“蕴含”(⇒),以及“存在”(∃)和“任意”(∀)。在这个基础上,再对特定对象引入其它符号,比如集合、空间、函数、矢量等等,但上述那些符号是最基础的。数学的论断是不是可靠,这就需要证明(公理除外)。从逻辑上来讲,数学的证明就是一系列论断的同义反复,从已知的可靠的表达形式抵达新的表达形式。数学的证明有两个目的,发现正确的论断以及交流。任何未经证明的论断只能是猜想。

那么,什么是数学思维?就是学会用精确的语言来表达判断,拒绝歧义,最好学会使用数学的符号体系,未经证明或验证的结果不能认为是对的。

前文谈到“爱智慧”,也就是哲学。宽泛地说,哲学就是对世界的思考,从这个意义来讲,所有的学科或知识都是哲学。然而,这样的理解因为过于宽泛而没有什么意义。日常语境中哲学通常有三种含义:关于世界的一般性问题,如存在、知识、伦理等等的理性思考;被某些组织或团体所认可的权威信条;关于生存或如何适应环境的个人信条。后两种含义分别对应的是团体哲学和个人哲学,而第一种就是常说的哲学研究。对于哲学研究,从时间上可以划分为古典与现代,按课题则包括认知哲学(注意,认知论有多个分支,包括心理学上的认识论和科学上的认知论)、逻辑哲学、形而上学、伦理学和审美学等等,按研究方式则包括分析哲学等等。

古典时期的哲学几乎囊括了所有的知识,关于自然的思考在古典时期就是哲学的一个分支,比如牛顿的巨著就名为《自然哲学之数学原理》。然而,随着认识的深入,越来越多有用的东西从哲学中分离出来,最早分离的是数学、物理、化学等等,然后形成了现代数千个学科的局面。如今,关于世界的一般性问题,只要你能够把它进行细分,几乎都能找到对应的研究学科。在纯粹的哲学研究中还剩下些什么呢?几乎是一些没什么用的思辨了。如果说古典哲学是一枚种子,则如今林林总总的科学分支就是从这颗种子长出的参天大树,而残存的那些种子的皮屑几乎可以忽略。所以,我不赞成孩子去学习什么哲学,但哲学史还是非常值得了解的,因为你可以欣赏从种子到参天大树的成长过程。

现在,退回到哲学的那个宽泛含义上,即对世界的思考。前文说到,现代数学是模式的科学,而模式是人类认识世界的基本形式,对世界的思考,就是认识世界的模式,从这个意义上来讲,数学是最根本的哲学。我认为,不懂数学的人不配谈哲学,更别提研究哲学了(注:这儿的哲学指的是“对世界的思考”)。而如果你真正喜欢思考,你没有理由不喜欢数学,也就没有理由不去学习数学思维。

在 Keith Devlin 的《数学思维导论》 (Introduction to Mathematical Thinking, ISBN: 978-0615653631) 一书中,他写到:“事实上,物理学可以认为是通过数学透镜所看见的宇宙”。试问,现代科学的哪个分支又离得了这个透镜呢?

读完 keith Devlin 的教材,回忆了一下自己学习数学与哲学的过程,颇有感慨:哲学语言的终极形式是数学。如果用 x 代表世界中的对象, \(P(x)\) 及 \(M(x)\) 分别表示用哲学及数学语言描述的对象,而 t 代表真实的对象,则有:

\($ \lim_{x \rightarrow t} P(x) = M(x) $\)

上面这个公式就是我的感慨,希望本文的读者会喜欢上它。

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